矩阵相似的定义
对两个矩阵A B，他俩相似的定义就是，存在这样一个可逆阵，使得：
我们可以称
为相似变换
矩阵的标准型
矩阵的标准型就是经过相似变换，把它变成一个对角矩阵
当然不是所有的矩阵都可以这样变的，其充要条件是有n个线性无关的特征向量（这里之前写错了，复查时发现了，有n个不同的特征值是充分条件，不过标准型肯定没人看嗯嗯）
于是就可以
对应矩阵分量相等，
解方程求Pi就行啦
矩阵的约当标准型
一个矩阵有n个线性无关的特征向量是个相对比较严格的条件
我们希望找到通用的矩阵能相似变换得到的最简单的某种形式的矩阵
约当标准型就是这样的矩阵
它长这样，比标准型稍微复杂一点的，但是也很简洁了（空处都为0）
注意其中有一些1参杂在副对角线上，而且这些1两侧的λ是相等的
我们把每组这些1和相等的λ构成的方阵称作约当块
（这些1放在上一行的副对角线或是下一行的副对角线都可以，但是不要有的放在上面有的放在下面）
下面我们只需要求得各个约当块，然后拼起来就得到约当标准型了
求约当块
约当块有许多的求法，这里介绍相对比较简单的写特征多项式矩阵->化为史密斯标准型->得到不变因子->得到初等因子->组合为约当块的流程
史密斯标准型
写出特征多项式矩阵后
对其做初等多项式行/列变换
这里对多项式矩阵做初等多项式变换不同于普通实数矩阵做初等变换，主要不同点在于，你只能对某一行/列乘一个λ的零次及以上的多项式，而不可以乘类似于(λ+1)^-1的分式，它不是多项式！
使得主对角线变成主对角线元素从上到下依次是下一个主对角线元素的因式
当然达成这种效果有一种好一点的技巧：
观察矩阵最大公因子。（比如一般一开始是有某些元素是常数的矩阵，那么最大公因子就是1把公因子项通过交换移动到第一列。（比如一开始就是某一个常数项用这个项所在行，进行初等多项式行变换，把别的行的第一列都变成0最后把此行，移动到第一行，并把这一行其余元素直接写成0（显然他们都被此项整除将除了第一行和第一列剩下的矩阵做上述同样的操作
多写写，很简单的，这里举个例子：
所有项的最大公因子是1，就挑一个1的多项式，这里有很多，-2、1、-1、2都是，选择最简单的1
用这个1所在行，对另外两行做行变换，消掉第一列的别的元素
1所在行其它元素可以直接写成0（也就是列变换，不过直接写肯定对）
然后对剩下一个子矩阵上述相同的操作。观察发现最大公因式是（λ-1）就直接用左下角那个（λ-1）先把上一行的（λ-1）消掉，然后把下一列的2λ-2消掉
非常自然的就得到最后的史密斯标准型了（当然这里简单调整一下对角线）
得到不变因子
史密斯标准型主对角线就是各个不变因子
因此上个例子中就是1、λ-1和(λ-1)^2
得到初等因子
非常数的不变因子，各自分解成互不相同的一次因式的方幂，得到的各个一次因式的方幂就是初等因子
例子中就是λ-1和(λ-1)^2，他们都要分解，前者成了λ-1，后者成了(λ-1)^2
对每个初等因子求根，得到对应的约当块
令各个初等因子为0，解得的每个λ的根，就是对应约当块中的λi的值，初等因子的各个因式次数有多少，那么这个约当块就有多大，副对角线的1就自然填充起来
例子中
第一个初等因子λ-1，根为1，次数为1，所以对应一个约当块 1
第二个初等因子(λ-1)^2 ，根为1，次数为2，所以对应一个大小为2的约当块
主对角线拼起来，就是总约当标准型
再来一个例子，非常数的不变因子λ和λ(λ-1)，变成初等因子λ、λ、和(λ-1)
第一个初等因子为λ，根为0，次数为1，所以对应一个约当块0
第二个初等因子为λ，根为0，次数为1，所以对应一个约当块0
第三个初等因子为(λ-1)，分别对应俩约当块1
总约当标准型就是：
再再来一个例子，以便确实讲清楚，非常数的不变因子为λ和λ^2，分解成初等因子为λ和λ^2
第一个，对应一个约当块0
第二个，对应一个大小为2约当块
总的就是
可见1只会去连接同一个初等因子的同一个约当λ，而不会连接不同初等因子的相同λ
求约当块的变换矩阵
这个就简单了，其实就是解方程而已
用相似的定义，写出一个矩阵等式，然后各列相等，解方程就是！
只不过注意Pi一般都是无数解的，要选好解空间中的某一个解，有利于简化计算，并且尤其注意要保证最后的P是可逆的。